久期也稱持續(xù)期，是1938年由 F. R . M a c a u l a y 提出的。它是以未來時(shí)間發(fā)生的現(xiàn)金流，按照目前的收益率折現(xiàn)成現(xiàn)值，再用每筆現(xiàn)值乘以其距離債券到期日的年限求和，然后以這個(gè)總和除以債券目前的價(jià)格得到的數(shù)值。

 久期公式的部分?jǐn)?shù)學(xué)解釋

『久期，全稱麥考雷久期-Macaulay duration， 數(shù)學(xué)定義

如果市場利率是Y，現(xiàn)金流(X1,X2,...,Xn)的麥考雷久期定義為：

D(Y)=[1*X1/(1+Y)^1+2*X2/(1+Y)^2+...+n*Xn/(1+Y)^n]/[X0+x1/(1+Y)^1+X2/(1+Y)^2+...+Xn/(1+Y)^n]

即 D=(1*PVx1+...n*PVxn)/PVx

其中，PVXi表示第i期現(xiàn)金流的現(xiàn)值，D表示久期。

通過下面例子可以更好理解久期的定義。

例子：假設(shè)有一債券，在未來n年的現(xiàn)金流為(X1,X2,...Xn)，其中Xi表示第i期的現(xiàn)金流。假設(shè)現(xiàn)在利率為Y0，投資者持有現(xiàn)金流不久，利率立即發(fā)生變化，變?yōu)閅，問：應(yīng)該持有多長時(shí)間，才能使得其到期的價(jià)值不低于現(xiàn)在的價(jià)值?

通過下面定理可以快速解答上面問題。

定理：PV(Y0)*(1+Y0)^q<=PV(Y)(1+Y)^q的必要條件是q=D(Y0)。這里D(Y0)=(X1/(1+Y0)+2*X2/(1+Y0)^2+...+n*Xn/(1+Y0)^n)/PV(Y0)

q即為所求時(shí)間，即為久期。

上述定理的證明可通過對(duì)Y導(dǎo)數(shù)求倒數(shù)，使其在Y=Y0取局部最小值得到。(容易)』

久期的用途：

在債券分析中，久期已經(jīng)超越了時(shí)間的概念，投資者更多地把它用來衡量債券價(jià)格變動(dòng)對(duì)利率變化的敏感度，并且經(jīng)過一定的修正，以使其能精確地量化利率變動(dòng)給債券價(jià)格造成的影響。修正久期越大，債券價(jià)格對(duì)收益率的變動(dòng)就越敏感，收益率上升所引起的債券價(jià)格下降幅度就越大，而收益率下降所引起的債券價(jià)格上升幅度也越大?？梢?，同等要素條件下，修正久期小的債券比修正久期大的債券抗利率上升風(fēng)險(xiǎn)能力強(qiáng)，但抗利率下降風(fēng)險(xiǎn)能力較弱。

正是久期的上述特征給我們的債券投資提供了參照。當(dāng)我們判斷當(dāng)前的利率水平存在上升可能，就可以集中投資于短期品種、縮短債券久期;而當(dāng)我們判斷當(dāng)前的利率水平有可能下降，則拉長債券久期、加大長期債券的投資，這就可以幫助我們?cè)趥械纳蠞q中獲得更高的溢價(jià)。

需要說明的是，久期的概念不僅廣泛應(yīng)用在個(gè)券上，而且廣泛應(yīng)用在債券的投資組合中。一個(gè)長久期的債券和一個(gè)短久期的債券可以組合一個(gè)中等久期的債券投資組合，而增加某一類債券的投資比例又可以使該組合的久期向該類債券的久期傾斜。所以，當(dāng)投資者在進(jìn)行大資金運(yùn)作時(shí)，準(zhǔn)確判斷好未來的利率走勢后，然后就是確定債券投資組合的久期，在該久期確定的情況下，靈活調(diào)整各類債券的權(quán)重，基本上就能達(dá)到預(yù)期的效果。

久期是一種測度債券發(fā)生現(xiàn)金流的平均期限的方法。由于債券價(jià)格敏感性會(huì)隨著到期時(shí)間的增長而增加，久期也可用來測度債券對(duì)利率變化的敏感性，根據(jù)債券的每次息票利息或本金支付時(shí)間的加權(quán)平均來計(jì)算久期。

久期的計(jì)算就當(dāng)是在算加權(quán)平均數(shù)。其中變量是時(shí)間，權(quán)數(shù)是每一期的現(xiàn)金流量，價(jià)格就相當(dāng)于是權(quán)數(shù)的總和(因?yàn)閮r(jià)格是用現(xiàn)金流貼現(xiàn)算出來的)。這樣一來，久期的計(jì)算公式就是一個(gè)加權(quán)平均數(shù)的公式了，因此，它可以被看成是收回成本的平均時(shí)間。

決定久期即影響債券價(jià)格對(duì)市場利率變化的敏感性包括三要素：到期時(shí)間、息票利率和到期收益率。

不同債券價(jià)格對(duì)市場利率變動(dòng)的敏感性不一樣。債券久期是衡量這種敏感性最重要和最主要的標(biāo)準(zhǔn)。久期等于利率變動(dòng)一個(gè)單位所引起的價(jià)格變動(dòng)。如市場利率變動(dòng)1%，債券的價(jià)格變動(dòng)3，則久期是3。

債券的久期與剩余期限：

實(shí)際上，久期在數(shù)值上和債券的剩余期限近似，但又有別于債券的剩余期限。在債券投資里，久期被用來衡量債券或者債券組合的利率風(fēng)險(xiǎn)，它對(duì)投資者有效把握投資節(jié)奏有很大的幫助。

一般來說，久期和債券的到期收益率成反 比，和債券的剩余年限及票面利率成正比。但對(duì)于一個(gè)普通的附息債券，如果債券的票面利率和其當(dāng)前的收益率相當(dāng)?shù)脑?，該債券的久期就等于其剩余年限。還有一個(gè)特殊的情況是，當(dāng)一個(gè)債券是貼現(xiàn)發(fā)行的無票面利率債券，那么該債券的剩余年限就是其久期。這也是為什么人們常常把久期和債券的剩余年限相提并論的原因。

另一種說法：

久期是債券平均有效期的一個(gè)測度，它被定義為到每一債券距離到期的時(shí)間的加權(quán)平均值，其權(quán)重與支付的現(xiàn)值成比例 。

久期是考慮了債券現(xiàn)金流現(xiàn)值的因素后測算的債券實(shí)際到期日。價(jià)格與收益率之間是一個(gè)非線性關(guān)系。但是在價(jià)格變動(dòng)不大時(shí)，這個(gè)非線性關(guān)系可以近似地看成一個(gè)線性關(guān)系。也就是說，價(jià)格與收益率的變化幅度是成反比的。值得注意的是，對(duì)于不同的債券，在不同的日期，這個(gè)反比的比率是不相同的。

1、 債券價(jià)格與久期的導(dǎo)入

債券(bond)是發(fā)行人根據(jù)債券發(fā)行時(shí)規(guī)定的規(guī)則向債券持有人支付貨幣的一種義務(wù)。一般來說，一張債券支付一筆具體的數(shù)額，即它的面值(face value),或者是它在到期日的平價(jià)(par value)。

債券的票面因素包括以下幾個(gè)：①債券的票面價(jià)值即面值，是債券票面表明的貨幣價(jià)值，是債券發(fā)行人承諾在債券到期日償還給債券持有人的金額。②債券的到期期限，是指債券從發(fā)行之日起到償清本息之日止的時(shí)間，也是債券發(fā)行人承諾履行合同義務(wù)的全部時(shí)間。③債券的票面利率，亦即票息率，是債券年利息和票面價(jià)值得比率。實(shí)際中債券利率有多種形式，比如單利、復(fù)利、貼現(xiàn)利率等。④債券的發(fā)行者名稱。這是為了明確債券的債務(wù)體，也是為債權(quán)人到期時(shí)追索本息提供依據(jù)。

債券的前三個(gè)票面因素再加上實(shí)際收益率，就提供了確定債券價(jià)格的基本要素。以一個(gè)票息率固定，期間定期支付票息，最后票息和本金一起支付的固定收益?zhèn)癁槔?，來分析它的現(xiàn)金流。定義c為票息率，F(xiàn)為票面價(jià)值，到期前有Ct=Fc，到期時(shí)則有CT=cF+F，當(dāng)收益率為y時(shí)，該債券的現(xiàn)值可以表達(dá)為下式：

其中：

— 第t個(gè)時(shí)期的現(xiàn)金流

— 最后到期時(shí)的時(shí)期數(shù)

— 每次支付的時(shí)期數(shù)

— 收益率

當(dāng)債券的發(fā)行價(jià)格等于P時(shí)稱為平價(jià)發(fā)行，大于P時(shí)稱為溢價(jià)發(fā)行，低于P時(shí)稱為折價(jià)發(fā)行。

當(dāng)債券的票面值和票息率確定以后，在不考慮信用風(fēng)險(xiǎn)、稅收風(fēng)險(xiǎn)和匯率風(fēng)險(xiǎn)等風(fēng)險(xiǎn)因素的情況下，債券的價(jià)格就和收益率 密切相關(guān)。我們令 ，把 按照taylor展開式展開可表達(dá)為下面的形式：

其中， 和 分別為 關(guān)于的一階和二階導(dǎo)數(shù)。這個(gè)表達(dá)式為計(jì)算債券價(jià)格隨收益率的波動(dòng)情況的變化提供了很好的方法。如果只是做最基本的估計(jì)，就可以只考慮前兩項(xiàng)，而把第三項(xiàng)忽略不計(jì)。這樣， 關(guān)于y的一階導(dǎo)數(shù)就非常重要了，而這個(gè)一階導(dǎo)數(shù)即為F.R.Macaulay在1938年提出的概念：久期(duration)。

表達(dá)式可以表達(dá)為：

其中定義久期為：

這個(gè)D也稱為“Macaulay久期”，它一方面代表著債券的實(shí)際到期時(shí)間，另一方面又是債券價(jià)格對(duì)于利率變動(dòng)的靈敏性度量。

2 、久期模型的發(fā)展

1) 修正久期

從上面的討論中可知：對(duì)于給定的到期收益率的微小變動(dòng)，債券價(jià)格的相對(duì)變動(dòng)與其 Macaulay久期成比例。當(dāng)然，這種比例關(guān)系只是一種近似的比例關(guān)系，它的成立是以債券的到期收益率很小為前提的。為了更精確地描述債券價(jià)格對(duì)于到期收益率變動(dòng)的靈敏性，又引入了修正久期模型(Modified Duration Model)。修正久期被定義為：

從這個(gè)式子可以看出，對(duì)于給定的到期收益率的微小變動(dòng)，債券價(jià)格的相對(duì)變動(dòng)與修正久期之間存在著嚴(yán)格的比例關(guān)系。所以說修正久期是在考慮了收益率項(xiàng) y 的基礎(chǔ)上對(duì) Macaulay 久期進(jìn)行的修正，是債券價(jià)格對(duì)于利率變動(dòng)靈敏性的更加精確的度量。

2) 有效久期

在Macaulay久期模型研究中存在一個(gè)重要假設(shè)，即隨著利率的波動(dòng)，債券的現(xiàn)金流不會(huì)發(fā)生變化。然而這一假設(shè)對(duì)于具有隱含期權(quán)的金融工具，如按揭貸款、可贖回(或可賣出)債券等而言則很難成立。因此，Macaulay久期模型不應(yīng)被用來衡量現(xiàn)金流易受到利率變動(dòng)影響的金融工具的利率風(fēng)險(xiǎn)。針對(duì)Macaulay久期模型這一局限，F(xiàn)rankFabozzi提出了有效久期的思想。所謂有效久期是指在利率水平發(fā)生特定變化的情況下債券價(jià)格變動(dòng)的百分比。它直接運(yùn)用不同收益率變動(dòng)為基礎(chǔ)的債券價(jià)格進(jìn)行計(jì)算，這些價(jià)格反映了隱含期權(quán)價(jià)值的變動(dòng)。其計(jì)算公式為：

其中：

利率下降x個(gè)基點(diǎn)時(shí)債券價(jià)格;

利率上升x個(gè)基點(diǎn)時(shí)債券價(jià)格;

初始收益率加上x個(gè)基點(diǎn);

初始收益率減去x個(gè)基點(diǎn);

債券初始價(jià)格;

有效久期不需要考慮各期現(xiàn)金流的變化情況，不包含利率變化導(dǎo)致現(xiàn)金流發(fā)生變化的具體時(shí)間，而只考慮利率一定變化下的價(jià)格總體情況。因此，有效久期能夠較準(zhǔn)確地衡量具有隱含期權(quán)性質(zhì)的金融工具的利率風(fēng)險(xiǎn)。對(duì)于沒有隱含期權(quán)的金融工具，有效久期與Macaulay久期是相等的。

隨著對(duì)久期模型研究的不斷深入，相繼有人提出了方向久期、偏久期、關(guān)鍵利率久期、近似久期以及風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整久期等新的久期模型，把利率的期限結(jié)構(gòu)、票息率的改變以及信用風(fēng)險(xiǎn)、贖回條款等加入到模型里面，使久期模型得到了進(jìn)一步的發(fā)展。

3) 債券組合久期

債券投資組合也有相應(yīng)的久期概念，其久期為單個(gè)久期的加權(quán)平均，可以用下面的公式進(jìn)行計(jì)算：

其中 為單個(gè)債券 在組合中的權(quán)重。

3. 久期在債券投資中的應(yīng)用

1) 利用久期控制利率風(fēng)險(xiǎn)。

在債券投資里，久期可以被用來衡量債券或者債券組合的利率風(fēng)險(xiǎn)，一般來說，久期和債券的到期收益率成反比，和債券的剩余年限及票面利率成正比。對(duì)于一個(gè)普通的附息債券，如果債券的票面利率和其當(dāng)前的收益率相當(dāng)?shù)脑挘搨木闷诰偷扔谄涫Ｓ嗄晗蕻?dāng)一個(gè)債券是貼現(xiàn)發(fā)行的無票面利率債券，那么該債券的剩余年限就是其久期。債券的久期越大，利率的變化對(duì)該債券價(jià)格的影響也越大，因此風(fēng)險(xiǎn)也越大。在降息時(shí)，久期大的債券上升幅度較大;在升息時(shí)，久期大的債券下跌的幅度也較大。因此，預(yù)期未來升息時(shí)，可選擇久期小的債券。在債券分析中久期已經(jīng)超越了時(shí)間的概念，投資者更多地把它用來衡量債券價(jià)格變動(dòng)對(duì)利率變化的敏感度，并且經(jīng)過一定的修正，以使其能精確地量化利率變動(dòng)給債券價(jià)格造成的影響。修正久期越大，債券價(jià)格對(duì)收益率的變動(dòng)就越敏感，收益率上升所引起的債券價(jià)格下降幅度就越大，而收益率下降所引起的債券價(jià)格上升幅度也越大。

債券對(duì)利率變動(dòng)的反應(yīng)特征如下：債券價(jià)格與利率變化反向變動(dòng);在給定利率變化水平下，長期債券價(jià)格變動(dòng)較大，因此債券價(jià)格變化直接與期限有關(guān);隨著到期時(shí)間的增加，債券對(duì)于利率變化的敏感度是以一個(gè)遞減的速度增長;由相同幅度的到期收益率的絕對(duì)變化帶來的價(jià)格變化是非對(duì)稱的，具體來說，在期限給定條件下，到期收益率降低引起的價(jià)格上升，大于到期收益率上升引相同幅度起的價(jià)格下降;票息高的債券比那些票息低的債券對(duì)利率的敏感性要低。

2) 利用久期進(jìn)行免疫

所謂免疫，就是構(gòu)建這樣的一個(gè)投資組合，在組合內(nèi)部，利率變化對(duì)債券價(jià)格的影響可以互相抵消，因此組合在整體上對(duì)利率不具有敏感性。而構(gòu)建這樣組合的基本方法就是通過久期的匹配，使附息債券可以精確地近似于一只零息債券。利用久期進(jìn)行免疫是一種消極的投資策略，組合管理者并不是通過利率預(yù)測去追求超額報(bào)酬，而只是通過組合的構(gòu)建，在回避利率波動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)的條件下實(shí)現(xiàn)既定的收益率目標(biāo)。在組合品種的設(shè)計(jì)中，除了國債可以選入組合外，部分收益率較高的企業(yè)債券及金融債券也能加入投資組合，條件是控制好匹配的久期。

但是，免疫策略本身帶有一定的假設(shè)條件，比如收益率曲線的變動(dòng)不是很大，到期收益率的高低與市場利率的變化之間有一個(gè)平衡點(diǎn)，一旦收益率確實(shí)發(fā)生了很大的變動(dòng)，則投資組合不再具有免疫作用，需要進(jìn)行再免疫，或是再平衡;其次，免疫嚴(yán)格限定了到期支付日，對(duì)于那些支付或終止期不能確定的投資項(xiàng)目而言并不是最優(yōu);再次，投資組合的免疫作用僅對(duì)于即期利率的平行移動(dòng)有效，對(duì)于其他變動(dòng)，需要進(jìn)一步拓展應(yīng)用。

3) 利用久期優(yōu)化投資組合

進(jìn)行免疫后的投資組合，雖然降低了利率波動(dòng)的風(fēng)險(xiǎn)，但是組合的收益率卻會(huì)偏低。為了實(shí)現(xiàn)在免疫的同時(shí)也能增加投資的收益率，可以使用回購放大的辦法，來改變某一個(gè)債券的久期，然后修改免疫方程式，找到新的免疫組合比例，這樣就可以提高組合的收益率。但是，在回購放大操作的同時(shí)，投資風(fēng)險(xiǎn)也在同步放大，因此要嚴(yán)格控制放大操作的比例。

4. 結(jié)束語

本文在債券價(jià)格基礎(chǔ)上，進(jìn)行了久期的公式推導(dǎo)，分析了久期在債券投資中的重要作用。但是久期只是債券價(jià)格關(guān)于收益率的一階導(dǎo)數(shù)，單獨(dú)使用久期近似估計(jì)債券價(jià)格隨收益率的波動(dòng)情況，不是十分準(zhǔn)確。因此價(jià)格關(guān)于收益率的二階導(dǎo)數(shù)，即凸性(convexity)，在債券投資中也是十分重要的工具，它經(jīng)常和久期配合使用，提高預(yù)測的精度。近些年來，久期模型逐漸考慮了信用風(fēng)險(xiǎn)、利率風(fēng)險(xiǎn)、稅收風(fēng)險(xiǎn)等各種風(fēng)險(xiǎn)因素，使久期模型得到了更大的發(fā)展。但是如何把這些最新的模型應(yīng)用于債券投資的實(shí)踐，還需要做很多的工作。