拼音：jǐn zhì yuán sù

簡介

在數(shù)學領(lǐng)域的序理論中，偏序集合的緊致或有限元素是還未包含在緊致元素之上的成員的任何非空有向子集的上確界所不能包容的那些元素。

注意在數(shù)學中還有其他的緊致性概念，還有在常見的集合論中的術(shù)語有限的意義不一致于序理論的“有限元素”的概念。

形式定義

在偏序集合 (P,≤) 中，元素 c 被稱為是緊致的(或有限的)，如果它滿足下列等價的條件中的一個:

對于 P 的所有非空有向子集 D，如果 D 有上確界 sup(D) 且 c ≤ sup(D) ，則有 D 的某個元素 d 使得 c ≤ d。

對于 P 的所有理想 I，如果 I 有上確界 sup(I) 且 c ≤ sup(I)，則 c 是 I 的一個元素。

如果此外偏序集合 P 還是并半格 (就是說它有二元上確界)則這些條件等價于聲稱:

對于 P 的任何非空子集 S，如果 S 有上確界 sup(S) 且 c ≤ sup(S)，則有 S 的某個有限子集 T 使得 c ≤ sup(T)。

特別是，如果 c = sup(S)，則 c 是 S 的有限子集的上確界。

從定義涉及的概念可輕易的驗證等價性。對并半格的情況要注意任何集合通過閉合在有限(非空)上確界下變成帶有相同上確界的有向集合。

在考慮有向完全偏序或完全格的時候，規(guī)定上確界存在的額外的要求可以去掉。還要注意是有向完全的并半格幾乎就是完全格(可能缺乏最小元) -- 詳情參見完全性 (序理論)。

如果存在的話，偏序集合的最小元總是緊致的。它可能是唯一的緊致元素，比如實數(shù)的單位區(qū)間 [0,1]。