九章算術(shù) 九章算術(shù)卷第八 方程

　　〔一〕今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實(shí)三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十六斗。問(wèn)上、中、下禾實(shí)一秉各幾何？

　　荅曰：

　　上禾一秉，九斗、四分斗之一，

　　中禾一秉，四斗、四分斗之一，

　　下禾一秉，二斗、四分斗之三。　　方程術(shù)曰，置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗，於右方。中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不盡者遍乘左行而以直除。左方下禾不盡者，上為法，下為實(shí)。實(shí)即下禾之實(shí)。求中禾，以法乘中行下實(shí)，而除下禾之實(shí)。餘如中禾秉數(shù)而一，即中禾之實(shí)。求上禾亦以法乘右行下實(shí)，而除下禾、中禾之實(shí)。餘如上禾秉數(shù)而一，即上禾之實(shí)。實(shí)皆如法，各得一斗。　　〔二〕今有上禾七秉，損實(shí)一斗，益之下禾二秉，而實(shí)一十斗。下禾八秉，益實(shí)一斗與上禾二秉，而實(shí)一十斗。問(wèn)上、下禾實(shí)一秉各幾何？

　　荅曰：

　　上禾一秉實(shí)一斗、五十二分斗之一十八，　　下禾一秉實(shí)五十二分斗之四十一?！　⌒g(shù)曰：如方程。損之曰益，益之曰損。損實(shí)一斗者，其實(shí)過(guò)一十斗也。益實(shí)一斗者，其實(shí)不滿一十斗也。

　　〔三〕今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，實(shí)皆不滿斗。上取中，中取下，下取上各一秉而實(shí)滿斗。問(wèn)上、中、下禾實(shí)一秉各幾何？

　　荅曰：　　上禾一秉實(shí)二十五分斗之九，

　　中禾一秉實(shí)二十五分斗之七，

　　下禾一秉實(shí)二十五分斗之四?！　⌒g(shù)曰：如方程，各置所取，以正負(fù)術(shù)入之。

　　正負(fù)術(shù)曰：同名相除，異名相益，正無(wú)入負(fù)之，負(fù)無(wú)入正之。其異名相除，同名相益，正無(wú)入正之，負(fù)無(wú)入負(fù)之?！　　菜摹辰裼猩虾涛灞?，損實(shí)一斗一升，當(dāng)下禾七秉。上禾七秉，損實(shí)二斗五升，當(dāng)下禾五秉。問(wèn)上、下禾實(shí)一秉各幾何？

　　荅曰：

　　上禾一秉五升，

　　下禾一秉二升?！　⌒g(shù)曰：如方程，置上禾五秉正，下禾七秉負(fù)，損實(shí)一斗一升正。次置上禾七秉正，下禾五秉負(fù)，損實(shí)二斗五升正。以正負(fù)術(shù)入之?！　　参濉辰裼猩虾塘?，損實(shí)一斗八升，當(dāng)下禾一十秉。下禾十五秉，損實(shí)五升，當(dāng)上禾五秉。問(wèn)上、下禾實(shí)一秉各幾何？　　荅曰：

　　上禾一秉實(shí)八升，

　　下禾一秉實(shí)三升。

　　術(shù)曰：如方程，置上禾六秉正，下禾一十秉負(fù)，損實(shí)一斗八升正。次置上禾五秉負(fù)，下禾一十五秉正，損實(shí)五升正。以正負(fù)術(shù)人之?！　　擦辰裼猩虾倘?，益實(shí)六斗，當(dāng)下禾十秉。下禾五秉，益實(shí)一斗，當(dāng)上禾二秉。問(wèn)上、下禾實(shí)一秉各幾何？

　　荅曰：

　　上禾一秉實(shí)八斗，

　　下禾一秉實(shí)三斗。

　　術(shù)曰：如方程，置上禾三秉正，下禾一十秉負(fù)，益實(shí)六斗負(fù)。次置上禾二秉負(fù)，下禾五秉正，益實(shí)一斗負(fù)。以正負(fù)術(shù)入之。

　　〔七〕今有牛五、羊二，直金十兩。牛二、羊五直金八兩。問(wèn)牛羊各直金幾何？

　　荅曰：

　　牛一，直金一兩、二十一分兩之一十三，

　　羊一，直金二十一分兩之二十。

　　術(shù)曰：如方程?！　　舶恕辰裼匈u(mài)牛二、羊五，以買(mǎi)十三豕，有餘錢(qián)一千。賣(mài)牛三、豕三，以買(mǎi)九羊，錢(qián)適足。賣(mài)羊六、豕八，以買(mǎi)五牛，錢(qián)不足六百。問(wèn)牛、羊、豕價(jià)各幾何？

　　荅曰：

　　牛價(jià)一千二百，

　　羊價(jià)五百，　　豕價(jià)三百。

　　術(shù)曰：如方程，置牛二、羊五正，豕一十三負(fù)，餘錢(qián)數(shù)正；次牛三正，羊九負(fù)，豕三正；次牛五負(fù)，羊六正，豕八正，不足錢(qián)負(fù)。以正負(fù)術(shù)入之。

　　〔九〕今有五雀、六燕，集稱之衡，雀俱重，燕俱輕。一雀一燕交而處，衡適平。并燕、雀重一斤。問(wèn)燕、雀一枚各重幾何？

　　荅曰：

　　雀重一兩、一十九分兩之十三，

　　燕重一兩、一十九分兩之五。

　　術(shù)曰：如方程，交易質(zhì)之，各重八兩。

　　〔一０〕今有甲乙二人持錢(qián)不知其數(shù)。甲得乙半而錢(qián)五十，乙得甲太半而亦錢(qián)五十。問(wèn)甲、乙持錢(qián)各幾何？

　　荅曰：

　　甲持三十七錢(qián)半，　　乙持二十五錢(qián)?！　⌒g(shù)曰：如方程，損益之?！　　惨灰弧辰裼卸R、一牛價(jià)過(guò)一萬(wàn)，如半馬之價(jià)。一馬、二牛價(jià)不滿一萬(wàn)，如半牛之價(jià)。問(wèn)牛、馬價(jià)各幾何？

　　荅曰：　　馬價(jià)五千四百五十四錢(qián)、一十一分錢(qián)之六，　　牛價(jià)一千八百一十八錢(qián)、一十一分錢(qián)之二。

　　術(shù)曰：如方程，損益之。

　　〔一二〕今有武馬一匹，中馬二匹，下馬三匹，皆載四十石至阪，皆不能上。武馬借中馬一匹，中馬借下馬一匹，下馬借武馬一匹，乃皆上。問(wèn)武、中、下馬一匹各力引幾何？

　　荅曰：

　　武馬一匹力引二十二石、七分石之六，

　　中馬一匹力引十七石、七分石之一，　　下馬一匹力引五石、七分石之五。

　　術(shù)曰：如方程各置所借，以正負(fù)術(shù)入之。

　　〔一三〕今有五家共井，甲二綆不足，如乙一綆；乙三綆不足，如丙一綆；丙四綆不足，如丁一綆；丁五綆不足，如戊一綆；戊六綆不足，如甲一綆。如各得所不足一綆，皆逮。問(wèn)井深、綆長(zhǎng)各幾何？

　　荅曰：井深七丈二尺一寸。

　　甲綆長(zhǎng)二丈六尺五寸，

　　乙綆長(zhǎng)一丈九尺一寸，

　　丙綆長(zhǎng)一丈四尺八寸，

　　丁綆長(zhǎng)一丈二尺九寸，

　　戊綆長(zhǎng)七尺六寸。

　　術(shù)曰：如方程，以正負(fù)術(shù)入之。

　　〔一四〕今有白禾二步、青禾三步、黃禾四步、黑禾五步，實(shí)各不滿斗。白取青、黃，青取黃、黑，黃取黑、白，黑取白、青，各一步，而實(shí)滿斗。問(wèn)白、青、黃、黑禾實(shí)一步各幾何？

　　荅曰：

　　白禾一步實(shí)一百一十一分斗之三十三，

　　青禾一步實(shí)一百一十一分斗之二十八，

　　黃禾一步實(shí)一百一十一分斗之一十七，

　　黑禾一步實(shí)一百一十一分斗之一十。

　　術(shù)曰：如方程，各置所取，以正負(fù)術(shù)入之。

　　〔一五〕今有甲禾二秉、乙禾三秉、丙禾四秉，重皆過(guò)於石。甲二重如乙一，乙三重如丙一，丙四重如甲一。問(wèn)甲、乙、丙禾一秉各重幾何？　　荅曰：

　　甲禾一秉重二十三分石之十七，　　乙禾一秉重二十三分石之十一，

　　丙禾一秉重二十三分石之十。

　　術(shù)曰：如方程，置重過(guò)於石之物為負(fù)。以正負(fù)術(shù)入之。

　　〔一六〕今有令一人、吏五人、從者一十人，食雞一十；令一十人、吏一人、從者五人，食雞八；令五人、吏一十人、從者一人，食雞六。問(wèn)令、吏、從者食雞各幾何？

　　荅曰：

　　令一人食一百二十二分雞之四十五，

　　吏一人食一百二十二分雞之四十一，

　　從者一人食一百二十二分雞之九十七?！　⌒g(shù)曰：如方程，以正負(fù)術(shù)入之。

　　〔一七〕今有五羊、四犬、三雞、二兔，直錢(qián)一千四百九十六；四羊、二犬、六雞、三兔直錢(qián)一千一百七十五；三羊、一犬、七雞、五兔，直錢(qián)九百五十八；二羊、三犬、五雞、一兔，直錢(qián)八百六十一。問(wèn)羊、犬、雞、兔價(jià)各幾何？

　　荅曰：

　　羊價(jià)一百七十七，

　　犬價(jià)一百二十一，

　　雞價(jià)二十三，

　　兔價(jià)二十九。

　　術(shù)曰：如方程，以正負(fù)術(shù)入之。

　　〔一八〕今有麻九斗、麥七斗、菽三斗、荅二斗、黍五斗，直錢(qián)一百四十；麻七斗、麥六斗、菽四斗、荅五斗、黍三斗，直錢(qián)一百二十八；麻三斗、麥五斗、菽七斗、荅六斗、黍四斗，直錢(qián)一百一十六；麻二斗、麥五斗、菽三斗、荅九斗、黍四斗，直錢(qián)一百一十二；麻一斗、麥三斗、菽二斗、荅八斗、黍五斗，直錢(qián)九十五。問(wèn)一斗直幾何？

　　荅曰：

　　麻一斗七錢(qián)，

　　麥一斗四錢(qián)，

　　菽一斗三錢(qián)，

　　荅一斗五錢(qián)，

　　黍一斗六錢(qián)。

　　術(shù)曰：如方程，以正負(fù)術(shù)入之。