《備急千金要方》，簡稱《千金方》，又名《千金要方》。成書于652年。作者孫思邈。方濟之，德逾于此”，所以千金名其書。
　　《備急千金要方》自唐代到現(xiàn)代，中外翻刻版本有四十余種，大致可分為兩類。
　　此書30卷本內(nèi)容，卷1為醫(yī)學總論，包括醫(yī)學倫理、本草、制藥等；卷2～4為婦科??；卷5為兒科病；卷6為七竅?。痪?～8論諸風腳氣；卷9～10為傷寒；卷11～20為臟腑病論；卷21論消渴淋閉諸癥；卷22為瘡腫痛疽；卷23系痔漏；卷24論解毒并雜治；卷25為備急諸術；卷26～27系食治并養(yǎng)性；卷28平脈；卷29～30針灸孔穴主治，總計233門，含方論5300余首，創(chuàng)分證列方的編寫體例。
　　書中系統(tǒng)總結了唐代以前的醫(yī)學成就，取材廣泛，內(nèi)容豐富，遍涉臨床各科及針灸、食療、藥物、預防、衛(wèi)生保健等。該書有述有作，驗方經(jīng)方兼?zhèn)?，是中國第一部理法方藥俱全的醫(yī)學巨著，是繼張仲景《傷寒雜病論》后，中國醫(yī)學的又一次總結，被譽為中國歷史上最早的臨床醫(yī)學百科全書。

《黃帝內(nèi)經(jīng)》簡稱《內(nèi)經(jīng)》，是托名黃帝及其臣子岐伯、雷公、鬼臾區(qū)、伯高等論醫(yī)之書?！饵S帝內(nèi)經(jīng)》包括《靈樞》和《素問》兩部分，各卷81篇，共80余萬言。

《黃帝內(nèi)經(jīng)》的著作時代，至今尚無定論。從其內(nèi)容看，非一人一時之作，但一般認為其主要內(nèi)容是反映戰(zhàn)國時期醫(yī)學理論水平的，基本定稿時期應不晚于戰(zhàn)國時期。當然，其中有些內(nèi)容可能出于秦漢及六朝人之手。

《黃帝內(nèi)經(jīng)》所引古代醫(yī)籍。有《上經(jīng)》、《下經(jīng)》、《揆度》、《陰陽》、《奇恒》、《經(jīng)脈》《五色》、《脈經(jīng)》等。說明在《內(nèi)經(jīng)》之前已有許多種醫(yī)書流傳於世。

經(jīng)絡與針灸，在《黃帝內(nèi)經(jīng)》中，居于主體地位，繼承和發(fā)展了馬王堆帛書《足臂十一脈灸經(jīng)》、《陰陽十一脈灸經(jīng)》、《脈法》、《陰陽脈死侯》和張家山漢簡《脈書》，乃至扁鵲等的經(jīng)絡學說和針刺治療經(jīng)驗，在針刺治療上，不僅突破了上述帛簡醫(yī)書和《五十二病方》等只采取灸法的水平，同時也遠比《史記·扁鵲傳》記載的治療經(jīng)驗更加具體和系統(tǒng)。在《黃帝內(nèi)經(jīng)》中，《靈樞》：經(jīng)脈篇、經(jīng)別、經(jīng)筋，更加完整和系統(tǒng)地論述了經(jīng)絡學；《靈樞》：九針十二原、九針論等篇，論述了針刺器材的制備；《素問》：氣穴、氣府、骨空、水熱穴等各篇，論述了腧穴分布；《靈樞》：九針十二原、邪客等各篇，論述了持針法則；《素問》：八正神明、離合真邪等各篇，論述了針刺的補瀉方法；《靈樞》：診要經(jīng)終、禁例等各篇，論述了針刺禁忌等，以及各種疾病的針刺療法。

陰陽五行學說被引入醫(yī)學，最早是秦國醫(yī)和，馬王堆帛書《陰陽十一脈灸經(jīng)》中的“病至則惡人與火，聞木音則惕然驚”，也反映了五行學說的內(nèi)容，這段文字后來載入《靈樞·經(jīng)脈篇》，《素問·脈解篇》說：“所謂甚則厥，惡人與火，聞木音則惕然而驚者，陽氣與陰氣相薄，水火相惡，故惕然而驚也?！闭f明陰陽五行學說，已被引入醫(yī)學理論中。

《黃帝內(nèi)經(jīng)》撰成之初，在戰(zhàn)國時代可能為《黃帝脈書》、《扁鵲脈書》等20余種單行本。西漢后期，劉向、劉歆父子校書，始由李柱國等校定為《黃帝內(nèi)經(jīng)》十八卷。到東漢初班固撰《漢書》時，這些醫(yī)籍的傳本仍被完整保存，而載于《漢書·藝文志》。東漢末張仲景撰《傷寒雜病論》、魏末皇甫謐撰《針灸甲乙經(jīng)》時，《漢書·藝文志》的十八卷本《黃帝內(nèi)經(jīng)》傳本即已不復存在，不僅被分割為《素問》、《九卷》或《針經(jīng)》兩書，而且“亦有所亡失”。

1、《靈樞》，亦稱《九卷》、《針經(jīng)》、《九靈》、《九墟》等。漢魏以后，由于長期抄傳出現(xiàn)多種不同名稱的傳本，唐·王冰所引用古本《針經(jīng)》傳本佚文與古本《靈樞》傳本佚文基本相同，說明為一共同的祖本，但與南宋史崧發(fā)現(xiàn)的《靈樞》傳本（即現(xiàn)存《靈樞》傳本）則不盡相同。史載北宋有高麗獻《針經(jīng)》鏤版刊行，今無書可證。至南宋初期，《靈樞》和《針經(jīng)》各種傳本均失傳。紹興二十五年（1155），史崧將其家藏《靈樞》九卷八十一篇重新校正，擴展為二十四卷，附加音釋，鏤版刊行。至此，《靈樞》傳本基本定型，取代各種傳本，而一再印行，流傳至今。

2、《素問》，在漢魂、六朝、隋唐各代皆有不同傳本。為張仲景、王叔和、孫思邈、王燾等在其著作中所引用。主要有：（1）齊梁間（公元6世紀）全元起注本，是最早的注本，但當時其中的第六卷已亡佚，實際只有八卷。這個傳本先后被唐·王冰、宋·林億等所引用，至南宋以后失傳。（2）唐、王冰注本，唐·寶應元年（762），王冰以全元起注本為底本注《素問》，將已亡佚的第七卷，以七篇“大論”補入，到北宋·嘉佑·治平（1057～1067）年間，設校正醫(yī)書局，林億等人在王冰注本的基礎上進行?？?，定名為《重廣補注黃帝內(nèi)經(jīng)素問》，雕版刊行，而定型。

《黃帝內(nèi)經(jīng)》的著成，標志著中國醫(yī)學由經(jīng)驗醫(yī)學上升為理論醫(yī)學的新階段?！饵S帝內(nèi)經(jīng)》總結了戰(zhàn)國以前的醫(yī)學成就，并為戰(zhàn)國以后的中國醫(yī)學發(fā)展提供了理論指導。在整體觀、矛盾觀、經(jīng)絡學、臟象學、病因病機學、養(yǎng)生和預防醫(yī)學以及診斷治療原則等各方面，都為中醫(yī)學奠定了理論基礎，具有深遠影響。歷代著名醫(yī)家在理論和實踐方面的創(chuàng)新和建樹，大多與《黃帝內(nèi)經(jīng)》有著密切的淵源關系。

《黃帝內(nèi)經(jīng)》的著成，不僅在中國受到歷代醫(yī)家的廣泛推崇，即使在國外的影響也不容低估。日本、朝鮮等國都曾把《黃帝內(nèi)經(jīng)》列為醫(yī)生必讀課本，而部分內(nèi)容還先后被譯成英、法、德等國文字，在世界上流傳。近年來一些歐美國家的針灸組織也把《黃帝內(nèi)經(jīng)》列為針灸師的必讀參考書。

《金匱要略》原為《傷寒雜病論》的一部分，今同《傷寒論》、《黃帝內(nèi)經(jīng)》、《神農(nóng)本草經(jīng)》一起被譽為祖國醫(yī)學四大經(jīng)典名著。作者為東漢時代我國著名醫(yī)學家張機。 [張機（約148—約211年)字仲景，東漢南郡，涅陽縣人（今河南省南陽市）。據(jù)傳曾任長沙太守，故后人又習慣稱他為張長沙，被歷代醫(yī)家奉為醫(yī)圣和醫(yī)方之祖。]

《金匱要略》是我國現(xiàn)存最早的一部專門研究雜病的醫(yī)學專著。全書共分3卷25篇，其《臟腑經(jīng)絡先后病脈證第一》是全書的總論?！督饏T要略》在理論上以臟腑經(jīng)絡學說為依據(jù)，認為“夫人稟五常（即五行），因風氣而生長。

在寫作方法上，《金匱要略》的每篇篇名均標明“病脈證治”，以顯示其病與證（或脈與證）相結合的診治原則。以論述內(nèi)因為主的雜病醫(yī)書。 內(nèi)容極其豐富，體現(xiàn)了張仲景的“天人相應，整體觀念"的醫(yī)學理論，充分反映了我國傳統(tǒng)醫(yī)學特點?！督饏T要略》在病理的論述上，主要側重在提示、舉例、比較，并各有其別?！秱摗穭t是論述外因病為主，注重六經(jīng)分證，同時列出各證的全脈。這是兩書的不同之處。

《金匱要略》成書以來，至今已近兩千年，它的問世給我國傳統(tǒng)醫(yī)學奠定了基礎，為后世醫(yī)學理論的深入發(fā)展，方書的涌現(xiàn)開創(chuàng)了先河。

張景岳（1563－1640），又名張介賓，字會卿，別號通一子，明末會稽（今浙江紹興）人。是明代杰出的醫(yī)學家，為溫補學派的代表人物，學術思想對后世影響很大。

　　張景岳生于嘉靖四十二年，自幼聰穎，因祖上以軍功起家世襲紹興衛(wèi)指揮使，"食祿千戶"，家境富裕。從小喜愛讀書，廣泛接觸諸子百家和經(jīng)典著作。其父張壽峰是定西侯門客，素曉醫(yī)理。景岳幼時即從父學醫(yī)，有機會學習《內(nèi)經(jīng)》。13歲時，隨父到北京，從師京畿名醫(yī)金英學習。青年時廣游于豪門，結交貴族。當時上層社會盛行理學和道家思想。景岳閑余博覽群書，思想多受其影響，通曉易理、天文、道學、音律、兵法之學，對醫(yī)學領悟尤多。景岳性格豪放，可能受先祖以軍功立世的激勵，他壯歲從戎，參軍幕府，游歷北方，足跡及于榆關（今山海關）、鳳城（今遼寧鳳城縣）和鴨綠江之南。當時北京異族興起，遼西局勢已不可為。數(shù)年戎馬生涯無所成就，使景岳功名壯志"消磨殆盡"，而親老家貧終使景岳盡棄功利之心，解甲歸隱，潛心于醫(yī)道，醫(yī)技大進，名噪一時，被人們奉為仲景東垣再生。五十七歲時，返回南方，專心從事于臨床診療，著書立說。崇禎十三年去世，終年78歲。

　　景岳早年推崇丹溪之學。朱丹溪處于《局方》盛行的時代，醫(yī)者每多濫用辛熱燥烈藥物而致傷陰劫液，故朱氏以"陽有余陰不足"立論。明代醫(yī)學界河間、丹溪的火熱論相火論占統(tǒng)治地位，更有時醫(yī)偏執(zhí)一說，保守成方，不善吸取精華，反而濫用寒涼，多致滋膩傷脾苦寒敗胃，成為醫(yī)學界的時弊。景岳在多年豐富臨床實踐中，逐漸擯棄朱氏學說，私淑溫補學派前輩人物薛己（1486－1558），薛己身為明太醫(yī)院使，主要為皇室王公等貴族診病，病機多見虛損，故喜用補。景岳出身貴族，交游亦多豪門大賈，故法從薛氏，力主溫補。特別針對朱丹溪之"陽有余陰不足"創(chuàng)立"陽非有余，真陰不足"的學說，創(chuàng)制了許多著名的補腎方劑。張氏學說的產(chǎn)生出于時代糾偏補弊的需要，對后世產(chǎn)生了較大影響。因其用藥偏于溫補，世稱王道，其流弊使庸醫(yī)借以藏拙，產(chǎn)生濫用溫補的偏向。

　　張氏中年以后著書立說，著作首推《類經(jīng)》，其編撰"凡歷歲者三旬，易稿者數(shù)四，方就其業(yè)。"成書于天啟四年（1624）。張景岳對《內(nèi)經(jīng)》研習近三十年，認為《內(nèi)經(jīng)》是醫(yī)學至高經(jīng)典，學醫(yī)者必應學習。但《內(nèi)經(jīng)》"經(jīng)文奧衍，研閱誠難"，確有注釋的必要。《內(nèi)經(jīng)》自唐以來注述甚豐，王冰注《黃帝內(nèi)經(jīng)素問注》為最有影響的大家，但王氏未注《靈樞》，而各家注本頗多闡發(fā)未盡之處。《素問》《靈樞》兩卷經(jīng)文互有闡發(fā)之處，為求其便，"不容不類"。故景岳"遍索兩經(jīng)"，"盡易舊制"，從類分門，"然后合兩為一，命曰《類經(jīng)》。類之者，以《靈樞》啟《素問》之微，《素問》發(fā)《靈樞》之秘，相為表里，通其義也。"《類經(jīng)》分經(jīng)文為十二類、若干節(jié)，根據(jù)相同的內(nèi)容，擬定標題，題下分別納入兩經(jīng)原文后詳加注釋，并指出王冰以來注釋《內(nèi)經(jīng)》的各家不足之處，條理井然，便于查閱，其注頗多闡發(fā)。景岳思路開闊，對《內(nèi)經(jīng)》精研深刻，各家著作流覽甚廣?！额惤?jīng)》集前人注家的精要，加以自己的見解，敢于破前人之說，理論上有創(chuàng)見，注釋上有新鮮，編次上有特色，是學習《內(nèi)經(jīng)》重要的參考書。

　　同年，景岳再編《類經(jīng)圖翼》和《類經(jīng)附翼》，對《類經(jīng)》一書中意義較深言不盡意之處，加圖詳解，再附翼說?！额惤?jīng)圖翼》十一卷：對運氣、陰陽五行、經(jīng)絡經(jīng)穴、針灸操作等作圖解說，討論系統(tǒng)。《類經(jīng)附翼》四卷，為探討易理、古代音律與醫(yī)理的關系，也有闡述其溫補的學術思想之作，如《附翼·大寶論》《附翼·真陰論》等重要論文，也有部分針灸歌賦。

　　張景岳晚年集自己的學術思想，臨床各科、方藥針灸之大成，輯成《景岳全書》64卷。成書于其卒年1640年。"《全書》者，博采前人之精義，考驗心得之玄微。"《全書·傳忠祿》輯有景岳主要醫(yī)學理論、醫(yī)評、問診和診斷、治療原則等論文三十余篇，多有溫補學說的論述?！度珪っ}神章》錄有歷代脈學，其中診脈之法和脈象主病多有結合臨癥經(jīng)驗的評論。次為《全書·傷寒典》，補充"《內(nèi)經(jīng)》傷寒諸義并諸治法之未備"，論述傷寒病的證治?！度珪るs證謨》列諸內(nèi)科雜證的病因病機、治理方藥和部分醫(yī)評，并輔有部分醫(yī)案，論述系統(tǒng)、精采?！度珪D人規(guī)》：論述九類婦科疾患，并指出婦科證多有情志病因，尤要注重四診合參。《全書·小兒則》：更述兒科諸病并治，在總論中提小兒"臟氣清靈，隨撥隨應"的生理特點，很有見地?！度珪ざ徽钽尅贰ⅰ度珪ね饪柒j》各有論病及證治?！度珪け静菡方榻B藥物二百九十二種，每味詳解氣味性用，很多為自己的臨癥用藥體會，頗有價值?！度珪ば路桨岁嚒?、《全書·古方八陣》，景岳善兵法，在此借用藥如用兵之義，以方藥列八陣為"補、和、攻、散、寒、熱、固、因"?！度珪ば路桨岁嚒分兴蟹筋H具創(chuàng)新?！度珪す欧桨岁嚒份嫹浇?jīng)典。共錄新方186方，古方1533方，其后的婦人、小兒、痘疹、外科古方收婦科186方，兒科199方，痘疹173方，外科374方及砭法、灸法12種。

　　《景岳全書》內(nèi)容豐富，囊括理論、本草、成方、臨床各科疾病，是一部全面而系統(tǒng)的臨床參考書。景岳才學博洽，文采好，善雄辨，文章氣勢宏闊，議論縱橫，多方引證，演繹推理，邏輯性強，故《景岳全書》得以廣為流傳。后世葉桂亦多承張氏的理論。清道光八年（1828）章楠《醫(yī)門棒喝》初集成，論《全書》云："或曰：嘗見誦景岳者，其門如市"，則自順治中葉至1828年的近200年間，幾為醫(yī)所必讀，可見景岳的溫補理論之影響深遠，《全書》之流傳廣泛。

　　《質(zhì)疑錄》，共45論，為張氏晚年著作，內(nèi)容系針對金元各家學說進行探討，并對早期發(fā)表的論述有所修正和補充。

　　張景岳善辨八綱，探病求源，擅長溫補，并在其醫(yī)學著述和醫(yī)療實踐中充分反映。治療虛損頗為獨到。反對苦寒滋陰，很好地糾正了寒涼時弊。他的陰陽學說、命門學說對豐富和發(fā)展中醫(yī)基礎理論有著積極的作用和影響。他的重要著作《類經(jīng)》是學習《內(nèi)經(jīng)》的較好參考書，《景岳全書》各科齊全，敘述條理，是一部很有價值的臨床參考書。張景岳的學術成就無疑是巨大的，對祖國醫(yī)學的發(fā)展做出卓越的貢獻。

一、《傷寒論》的內(nèi)容

　　《傷寒論》是東漢張機所著《傷寒雜病論》中論述傷寒病證的部分?！秱s病論》原16卷，約成書于公元3世紀。該書至魏晉時已有散失，經(jīng)王叔和收集整理始得存世，后在流傳過程中析分為《傷寒論》和《金匱要略》二書。北宋時期，政府成立校正醫(yī)書局，對諸多醫(yī)學古籍進行?？闭恚秱摗穭t是其中之一。

　　現(xiàn)該書通行本有兩種：一是明代趙開美據(jù)宋治平本（林億等校正的原刊本）的影刻本，一是金代成無已的《注解傷寒論》本。此外，《脈經(jīng)》、《千金翼方》、《外臺秘要》中均載有《傷寒論》的內(nèi)容，被視為該書的早期傳本；北宋校正的《金匱玉函經(jīng)》，也是《傷寒論》的另一古傳本；近代在日本也發(fā)現(xiàn)了《傷寒論》的古傳本，其中有康治本（唐人手抄卷子本）、康平本（丹波雅忠抄本）。

　　《傷寒論》全書共10卷，22篇。內(nèi)容包括辨太陽病、辨陽明病、辨少陽病、辨太陰病、辨少陰病、辨厥陰病脈證并治，主要論述了傷寒六經(jīng)病的脈證治法，是《傷寒論》的主體組成部分；尚有“辨脈法”、“平脈法”、“傷寒例”3篇，分別論述了傷寒、雜病的脈證預后以及傷寒的病因、病機、傳變等；還有痙濕暍、霍亂、陰陽易、差后勞復等病的證治以及汗、吐、下等治法的應用范圍和禁忌證。后世多數(shù)學者認為，“辨脈法”、“平脈法”、“傷寒例”3篇及“痙濕暍、“汗、吐、下可與不可”等條文非仲景筆，系王叔和編撰增入，故自明代以后多刪而不錄。

二、《傷寒論》的主要貢獻

　　該書是一部論治外感熱病的專著，作者全面總結了東漢以前診治外感熱病的經(jīng)驗，運用《素問

朱世杰字漢卿，號松庭．北京附近人．生卒年不詳，生活于13—14世紀．數(shù)學．

關于朱世杰的生平，流傳下來的資料甚少，僅能從趙城、莫若、祖頤等人為他的著作《算學啟蒙》和《四元玉
鑒》所寫的序言中找到一些線索．這些序言均稱“燕山松庭朱君”、“燕山朱漢卿先生”．在《四元玉鑒》每卷之首也均署名為“寓燕松庭朱世杰漢卿編述”，可見他的籍貫當在現(xiàn)在的北京或其附近．莫若序中有“燕山松庭朱先生以數(shù)學名家周游湖海二十余年矣．四方之來學者日眾，先生遂發(fā)明《九章》之妙，以淑后學，為書三卷……名曰《四元玉鑒》”，祖頤后序中亦有“漢卿，名世杰，松庭其自號也．周流四方，復游廣陵，踵門而學者云集……．

”這兩篇序均寫于元大德七年(1303)，以莫若序中所說的“以數(shù)學名家周游湖海二十余年矣”來推算，朱世杰從事數(shù)學教學和數(shù)學研究的年代當在13世紀末和14世紀初．

1234年蒙古聯(lián)宋滅金之后，又經(jīng)過40余年，至1276年才攻占了南宋的都城臨安，1279年南宋滅亡．

朱世杰的青少年時代，大約相當于蒙古滅金之后．但早在滅金之前，蒙古軍隊便已攻占了金的中都(今北京，
是1215年攻占的)．元世祖忽必烈繼位之后，為便于對中原地區(qū)的攻略，便遷都于此地，改稱燕京，后又改稱為大
都．到13世紀60年代，燕京不只是重要的政治中心，同時也是重要的文化中心．

忽必烈為了鞏固元朝的統(tǒng)治，網(wǎng)羅了一大批漢族的知識分子作為智囊團．其中有以編制《授時歷》聞名的王恂
(1235-1281)、郭守敬(1231—1316)以及編制歷法的倡導者和主持者劉秉忠(1216—1274)、張文謙(1216—1283)、
許衡(1209—1281)等人．這個集團中的人物，對數(shù)學和歷法都很精通．他們未入朝之前，曾隱居于河北南部的武安紫金山中．受到忽必烈禮聘的，還有李治(1192—1279)，他也是一位著名的數(shù)學家．

就當時的數(shù)學發(fā)展情況而論，在13世紀中葉，在河北南部和山西南部地區(qū)，出現(xiàn)了一個以“天元術”(一種帶
有中國古代數(shù)學特點的代數(shù)學)為代表的數(shù)學研究中心．按祖頤在“《四元玉鑒》后序”中敘述天元術發(fā)展情況時
所說：“平陽(今山西臨汾)蔣周撰《益古》，博陸(今河北蠡縣)李文一撰《照膽》，鹿泉(今河北獲鹿)石信道撰《鈐經(jīng)》，平水(今山西新絳)劉汝諧撰《如積釋鎖》，絳人(今山西新絳)元裕細草之，后人始知有天元也．平陽李德載因撰《兩儀群英集臻》兼有地元，霍山(今山西臨汾)邢先生頌不高弟劉大鑒潤夫撰《乾坤括囊》末僅有人元二問吾友燕山朱漢卿先生演數(shù)有年，探三才之賾，索《九章》之隱，按天地人物成立四元……．”這段序文敘述出朱世杰學術上的師承關系．毫無疑問，他較好地繼承了當時北方數(shù)學的主要成就．當時的北方，正處于天元術逐漸發(fā)
展成為二元、三元術的重要時期，正是朱世杰把這一成就拓展為四元術的．


朱世杰除繼承和發(fā)展了北方的數(shù)學成就之外，還吸收了當時南方的數(shù)學成就——各種日用、商用數(shù)學和口訣、
歌訣等．本來，在元滅南宋之前，南北之間的數(shù)學交流是比較少的．朱世杰“周流四方，復游廣陵(今揚州)”應是在1276年元軍對南宋的大規(guī)模軍事行動結束之后．朱世杰在經(jīng)過長期游學、講學之后，終于在1299年和1303年在揚州刊刻了他的兩部數(shù)學著作——《算學啟蒙》和《四元玉鑒》．隋唐以來，中原地區(qū)經(jīng)濟中心和文化中心逐漸南移．長江中下游一帶，五代十國時期就比較穩(wěn)定，北宋時期也
有較大發(fā)展．隨著金兵入侵和宋王朝的南遷，江南地區(qū)的農(nóng)業(yè)、手工業(yè)、商業(yè)和城市建設等都有較大發(fā)展．在這樣的社會條件下，中國數(shù)學中自晚唐以來不斷發(fā)展的簡化籌算的趨勢有了進一步的發(fā)展，日用數(shù)學和商用數(shù)學更加普及．南宋時楊輝的著作可以作為這一傾向的代表，而朱世杰所著的《算學啟蒙》，則是這一傾向的繼承和發(fā)展．

當然，以所取得的成就而論，《四元玉鑒》是遠超《算學啟蒙》的．清代羅士琳在評論朱世杰的數(shù)學成就時說
：“漢卿在宋元間，與秦道古(九韶)、李仁卿(冶)可稱鼎足而三．道古正負開方，仁卿天元如積，皆足上下千古，漢卿又兼包眾有，充類盡量，神而明之，尤超越乎秦李之上”(羅士琳編《疇人傳·續(xù)編·朱世杰條》)．清代另一位數(shù)學家王鑒也說：“朱松庭先生兼秦李之所長，成一家之著作”(王鑒《算學啟蒙述義·自序》)．此外，朱世杰還繼承發(fā)展了日用、商用數(shù)學．由此可見，朱世杰可以被看作是中國宋元時期數(shù)學發(fā)展的總結性人物，是宋元數(shù)學的代表，是中國以籌算為主要計算工具的古代數(shù)學發(fā)展的預峰．

朱世杰的數(shù)學著作，如前所述，有《算學啟蒙》、《四元玉鑒》二種，下面略加評介．

1．《算學啟蒙》

《算學啟蒙》全書共3卷、分為20門，收入了259個數(shù)學問題．全書由淺入深，從整數(shù)的四則運算直至開高次方
、天元術等，包括了當時已有的數(shù)學各方面內(nèi)容，形成了一個較完備的體系，可用作教材，它確實是一部較好的啟蒙數(shù)學書．

在全書之首，朱世杰首先給出了18條常用的數(shù)學歌訣和各種常用的數(shù)學常數(shù)．其中包括：乘法九九歌訣、除法
九歸歌訣(與后來的珠算歸除口訣完全相同)、斤兩化零歌訣(“一退六二五”之類)、籌算記數(shù)法則、大小數(shù)名稱、度量衡換算、面積單位、正負數(shù)的四則運算法則、開方法等等．值得指出的是，朱世杰在這里，也是在中國數(shù)學史上首次記述了正負數(shù)的乘除運算法則．朱世杰把上述這些歌訣和數(shù)學常數(shù)等，作為“總括”而列在全書之首，這種寫作的方式，在中國古算書中并不多見．

《算學啟蒙》正文分上、中、下三卷．

卷上：共分為8門，收有數(shù)學問題113個，其內(nèi)容為：乘數(shù)為一位數(shù)的乘法、乘數(shù)首位數(shù)為一的乘法、多位數(shù)乘
法、首位除數(shù)為一的除法、多位除數(shù)的除法、各種比例問題(包括計算利息、稅收等等)．

其中“庫司解稅門”第7問題記有“今有稅務法則三十貫納稅一貫”，同門第10、11兩問中均載有“兩務稅”
等，都是當時實際施行的稅制．朱世杰在書中的自注中也常寫有“而今有之”、“而今市舶司有之”等等，可見書中的各種數(shù)據(jù)大都來自當時的社會實際．因此，書中提到的物價(包括地價)、水稻單位面積產(chǎn)量等，對了解元代社會的經(jīng)濟情況也是有用的．

卷中：共7門，71問．內(nèi)容有各種田畝面積、倉窖容積、工程土方、復雜的比例計算等等．

卷下：共5門，75問．內(nèi)容包括各種分數(shù)計算、垛和問題、盈不足算法、一次方程解法、天元術等等．

這樣，《算學啟蒙》全書從簡單的四則運算入手，一直講述到當時數(shù)學的重要成就——天元術(高次方程的數(shù)值解法)，為閱讀《四元玉鑒》作了必要的準備，給出了各種預備知識．清代羅士琳說《算學啟蒙》“似淺實深”，又說《算學啟蒙》、《四元玉鑒》二書“相為表里”，這些話都是不錯的．

《算學啟蒙》出版后不久即流傳至朝鮮和日本．在朝鮮的李朝時期，《算學啟蒙》和《詳明算法》、《楊輝算法》一道被作為李朝選仕(算官)的基本書籍．在日本收藏有一部首尾殘缺、未注明年代的《算學啟蒙》，與此書一起，同時也藏有一部宣德八年(即李朝世宗十五年，1433)朝鮮慶州府刻版的《楊輝算法》．從版刻形式等方面來辨識，兩部書是相同的，從而有人推斷這部《算學啟蒙》也是1433年朝鮮慶州府刻本．這可能要算是當今世界上最早的傳世刻本．在《李朝實錄》中也記有世宗本人曾向當時的副提學鄭麟趾學習《算學啟蒙》的史料．《算學啟蒙》傳入日本的時間也已不可考，是久田玄哲在京都的一個寺院中發(fā)現(xiàn)了這部書，之后他的學生土師
道云進行了翻刻(日本萬治元年，1658，京都)．寬文12年(1672)又在江戶(今東京)出版了星野實宣注解的《新編算學啟蒙注解》3卷，元祿三年(1690)還出版了著名的和算家建部賢弘注釋的《算學啟蒙諺解大成》7卷．《算學啟蒙》對日本和算的發(fā)展有較大的影響．

《算學啟蒙》一書在朝鮮和日本雖屢有翻刻，但明末以來，在中國國內(nèi)卻失傳了．清末道光年間羅士琳重新翻刻《四元玉鑒》時，《算學啟蒙》尚無著落．后來羅士琳“聞朝鮮以是書為算科取士”，請人在北京找到順治十七
年(1660)朝鮮全州府尹金始振所刻的翻刻本，1839年在揚州重新刊印出版．這個本子，后來成為中國現(xiàn)存各種版本的母本．清代對《算學啟蒙》進行注釋的有王鑒所著《算學啟蒙述義》(1884)和徐鳳誥所著《算學啟蒙通釋》(1887)．

2．《四元玉鑒》

與《算學啟蒙》相比，《四元玉鑒》則可以說是朱世杰闡述自己多年研究成果的一部力著．全書共分3卷，24
門，288問．書中所有問題都與求解方程或求解方程組有關，其中四元的問題(需設立四個未知數(shù)者)有7問(“四象朝元”6問，“假令四草”1問)；三元者13問(“三才變通”11問，“或問歌彖”和“假令四草”各1問)；二元者36問(“兩儀合轍”12問，“左右逢元”21問，“或問歌彖”2問，“假令四草”1問)；一元者232問(其余各問皆為一元)．可見，四元術——多元高次方程組的解法是《四元玉鑒》的主要內(nèi)容，也是全書的主要成就．

《四元玉鑒》中的另一項突出的成就是關于高階等差級數(shù)的求和問題．在此基礎上，朱世杰還進一步解決了高
次差的招差法問題．

四元玉鑒》一書的流傳和《算學啟蒙》一樣，也曾幾經(jīng)波折．這部1303年初版的著作，在15和16兩個世紀都
還可以找到它流傳的線索．吳敬所著《九章算法比類大全》(1450)中的一些算題，和《四元玉鑒》中的算題完全相同或部分相同．顧應祥在其所著《孤矢算術》序言(1552)中寫道：“孤矢一術，古今算法載者絕少，……《四元玉鑒》所載數(shù)條?！敝苁鰧W所著《神道大編歷宗算會》卷三之首曾引用了《四元玉鑒》書首的各種圖式，書中有些算題也與《四元玉鑒》相同，卷十四作為“算會圣賢”列有“松庭《四元玉鑒》”．可見顧周二人都曾讀到過《四元玉鑒》．清初黃虞稷(1618—1683)《千頃堂書目》記有“《四元玉鑒》二卷”，卷數(shù)不符．梅瑴成《赤水遺珍》(1761)中曾引用過《四元玉鑒》中的兩個題目，可見清初時此書尚未失傳．

乾隆三十七年(1772)開《四庫全書》館時，雖然挖掘出不少古代數(shù)學典籍，但朱世杰的著作并未被收入．阮元
、李銳等人編纂《疇人傳》時(1799)也尚未發(fā)現(xiàn)《四元玉鑒》．但不久之后阮元即在浙江訪得此書，呈入《四庫全書》，并把抄本交李銳校算(未校完)，后由何元錫按此抄本刻?。@是1303年《四元玉鑒》初版以來的第一個重刻本．《四元玉鑒》被重新“發(fā)現(xiàn)”之后，引起了當時許多學者的注意，如李銳(1768-1817)、沈欽裴(1829年寫有《四元玉鑒》序)、徐有壬(1800—1860)、羅士琳(1789—1853)、戴煦(1805-1860)等人，都進行過研究．其中，以沈欽裴和羅士琳二人的工作最為突出．

1839年羅士琳經(jīng)多年研究之后，出版了他所著的《四元玉鑒細草》一書，影響廣泛．羅氏對《四元玉鑒》進行
了校改并對書中每一問題都作了細草．但是他對此書關鍵問題(四元消法和級數(shù)求和)的理解，尚有需進一步研究者．與羅士琳同時，沈欽裴也對《四元玉鑒》作了精心的研究，每題也作了細草，經(jīng)對比，沈氏《細草》比羅氏《細草》要更符合朱世杰原意．沈氏《細草》僅有兩種抄本傳世(其中一種是全本)，現(xiàn)均收藏于北京圖書館．

清代數(shù)學家李善蘭曾著有《四元解》(1845)，但此書是作者以己意解四元方程組，對了解朱世杰原意幫助不大
．其后陳棠著《四元消法簡易草》(1899)，卷末附有“假令四草”的“補正草”，對理解朱世杰四元術是有幫助的．日本數(shù)學史家三上義夫在其所著《中國及日本數(shù)學之發(fā)展》(ThedevelopmentofmathematicsinChinaandJapan，1913)一書中將《四元玉鑒》介紹至國外．其后康南茲(E．L．Konantz)和赫師慎(L．VanHeé分別把《四元玉鑒》中的“假令四草”譯為英法兩種文字．1977年華裔新西蘭人謝元祚(J．Hoe)將《四元玉鑒》全文譯成法文，并寫了關于《四元玉鑒》的論文．

朱世杰的數(shù)學成就可簡述如下：

1．四元術

四元術是在天元術基礎上逐漸發(fā)展而成的．天元術是一元高次方程列方程的方法．天元術開頭處總要有“立天
元一為××”之類的話，這相當于現(xiàn)代初等代數(shù)學中的“設未知數(shù)x為××”．四元術是多元高次方程列方程和解
方程的方法，未知數(shù)最多時可至四個．四元術開頭處總要有“立天元一為××，地元一為○○，入元一為△△，物元一為**”，即相當于現(xiàn)代的“設x，y，z，為××，○○，△△，**”．天元術是用一個豎列的籌式依次表示未知數(shù)(x)的各次冪的系數(shù)的，而四元術則是天元術的推廣．按莫若為《四元玉鑒》所寫的序言所記述，四元式則是“其法以元氣居中，立天元一于下，地元一于左，人元一于右，物元一于上，陰陽升降，進退左右，互通變化，錯綜無窮”，此即在中間擺入常數(shù)項(元氣居中)，常數(shù)項下依次列入x各次冪的系數(shù)。左邊列y，y2，y3，…各項系數(shù)，右邊為z，z2，z3，…各項系數(shù)，上邊為u，u2，u3，…各項系數(shù)，而把xy，yz，zu，…，x2y，y2z，z2u，…各項系數(shù)依次置入相應位置中(如圖1)．例如：x＋y＋z＋u=0，即可以下列籌式表示(如圖2)．而(x y z u)2=A，即可以圖3所示之籌式表示之，即將(x＋y Z＋u)2=x2 y2＋z2＋u2＋2xy＋2xz 2xu 2yz 2yu 2zu中的2xy，2yz…等記入相應的格子中，而將不相鄰的兩個未知數(shù)的乘積如2xu，2yz的系數(shù)記入夾縫處，以示區(qū)
別．圖3即是《四元玉鑒》書首給出的“四元自乘演段之圖”(為了方便，我們用現(xiàn)代通用的阿拉伯數(shù)碼代替了原圖中的算籌)．如此記寫的四元式，既可表示一個多項式，也可以表示一個方程．

四元式的四則運算如下進行．
(1)加、減：使兩個四元式的常數(shù)項對準常數(shù)項，之后再將相應位置上的兩個系數(shù)相加、減即可．
(2)乘：

1)以未知數(shù)的整次冪乘另一四元式，如以刀，x，x2，x3，…乘四元式，則等于以該項系數(shù)乘整個四元式各項
再將整個四元式下降，以x乘則下降一格，x2乘則下降二格．以y的各次冪乘則向左移，以z乘則右移，以u乘則上升．

2)二個四元式相乘：以甲式中每項乘乙式各項，再將乘得之各式相加．

(3)除(僅限于用未知數(shù)的整次冪來除)：等于以該項系數(shù)除四元式各項系數(shù)之后，整個四元式再上、下、左、
右移動．

上述四則運算也就是莫若《四元玉鑒》序言中所說的“陰陽升降，進退左右，互通變化，錯綜無窮”．在當時
中國數(shù)學尚缺少數(shù)學符號的情況下，朱世杰利用中國古代的算籌能夠進行如此復雜的運算，實屬難能可貴．

朱世杰四元術精彩之處還在于消去法，即將多元高次方程組依次消元，最后只余下一個未知數(shù)，從而解決了整
個方程組的求解問題．其步驟可簡述如下：

1)二元二行式的消法例如“假令四草”中“三才運元”一問，最后得出如下圖的兩個二元二行式，這相當于求解或將其寫成更一般的形式其中A0，B1和A1，B0分別等于算籌圖式中的“內(nèi)二行”和“外二行”，都是只含z而不含x的多項式．朱世杰解決這些二元二行式的消去法即是“內(nèi)二行相乘、外二行相乘，相消”．也就是F(z)=A0B1-A1B0=0．

此時F(z)只含z，不含其他未知數(shù)．解之，即可得出z之值，代入上式任何一式中，再解一次只含x的方程即可
求出x．

2)二元多行式的消法不論行數(shù)多少，例如3行，則可歸結為以A2乘(2)式中B2x2以外各項，再以B2乘(1)式中A2x2以外各項，相消得C1x C0=0．(3)以x乘(3)式各項再與(1)或(2)聯(lián)立，消去x2項，可得D1x D0=0．

(4)(3)，(4)兩式已是二元二行式，依前所述即可求解．

3)三元式和四元式消法

如在三元方程組中(如下列二式)欲消去y：

式中諸Ai，Bi均只含x，z不含y．(5)，(6)式稍作變化即有以A0，B0與二式括號中多項式交互相乘，相消得
C1y＋C0=0．(9)(9)式再與(7)，(8)式中任何一式聯(lián)立，相消之后可得D1y＋D0=0．(10)
(9)，(10)聯(lián)立再消去y，最后得E=0，(11)
E中即只含x，z．再另取一組三元式，依法相消得F＝0．(12)(11)，(12)只含兩個未知數(shù)，可依前法聯(lián)立，再消去一個未知數(shù)，即可得出一個只含一個未知數(shù)的方程，消去
法步驟即告完成．

以上乃是利用現(xiàn)代數(shù)學符號化簡之后進行介紹的，實際上整個運算步驟都是用中國古代所特有的計算工具算籌
列成籌式進行的，雖然繁復，但條理明晰，步驟井然．它不但是中國古代籌算代數(shù)學的最高成就，而且在全世界，在13—14世紀之際，也是最高的成就．顯而易見，在一個平面上擺列籌式，未知數(shù)不能超過四元，這也是朱世杰四元術的局限所在．在歐洲，直到18世紀，繼法國的E．貝祖(Béout，17779)之后又有英國的J．J．西爾維斯特(Sylvester，184
0)和A．凱萊(Cay-ley，1852)等人應用近代方法對消去法進行了較全面的研究．

2．高階等差級數(shù)求和

在中國古代，自宋代起便有了關于高階等差級數(shù)求和問題的研究．在沈括(1031—1095)和楊輝的著作．(1261
—1275)中，都有各種垛積問題，這些垛積問題有一些就是高階等差級數(shù)問題．另外，在歷法計算過程中，特別是
在計算太陽在黃道上的精確位置時，要用到內(nèi)插法．在宋代歷法中，已經(jīng)考慮并用到三次差的內(nèi)插法．這也是一種高階等差級數(shù)的求和問題．

朱世杰在《四元玉鑒》中又把這一問題的研究進一步深化．
據(jù)研究，朱世杰已經(jīng)掌握了如下一串三角垛的公式，即
茭草垛
三角垛
撒星形垛
三角撒星形垛
(又稱“撒星更落一形垛”)

三角撒星更落一形垛從中不難看出前垛的求和結果恰好是后垛的一般項，即前垛的各層累計的和剛好是后垛中的一層，因此朱世杰常把后一種垛積稱為前一垛積的“落一形垛”．這串公式可用一個公式來表達，即當p=1，2，3，4，5時．(A)式就是上述五個公式．

除(A)式之外，朱世杰還已掌握了當P=1時稱為四角垛，即當P=2時稱為嵐峰形垛，即當P=3時稱為三角嵐峰形垛，即當然，《四元玉鑒》中也還有一些其他類型的垛積問題．

由于朱世杰已經(jīng)掌握了公式(A)，掌握了一串三角垛公式，這使他有可能超越前人，提出高次招插法公式，從
而有可能解決任何一類高階等差級數(shù)的求和問題．《四元玉鑒》“如象招數(shù)”門最后一問中提出了一個需用四次差(即四次差相等，五次差等于0)的招差問題．如以現(xiàn)代符號記述，以△1，△2，△3，△4表示一差、二差、三差和四差，朱世杰相當于給出了招插公式：

這是一個有關計算招兵人數(shù)的問題．朱世杰的解法是“求兵者：今招為上積，又今招減一為茭草底子積為二積
，又今招減二為三角底子積為三積，又今招減三為三角落一積為下積，以各差乘各積，四位并之，即招兵數(shù)也”，所描述的剛好就是上述公式．因為朱世杰指出了上述公式各項的系數(shù)，剛好依次是一串三角垛的“積”，從這一點出發(fā)不難推斷朱世杰是可
以將其推廣至任意高次的高階等差級數(shù)和招差問題上去的．在西方，是J．格雷戈里(Gregory，1638—1675)最先對招插法進行了研究，直到牛頓的著作(1676，1678)中才
出現(xiàn)了關于招插術的一般公式．當然牛頓的公式采取了近代數(shù)學的形式，而且用途廣泛，但朱世杰的首創(chuàng)之功也是不可泯滅的．

朱世杰在數(shù)學方面的貢獻并不局限于上述兩點，例如《算學啟蒙》中所列各種歌訣、口訣(包括除法口訣)均已
十分齊備，這為計算工具由籌算到珠算的過渡創(chuàng)造了條件．但四元術和高階等差級數(shù)求和問題兩方面的成就，仍顯得十分突出，由于這兩方面成就的出現(xiàn)，使得高度發(fā)展了的宋元時期的中國數(shù)學，更放異彩．

清代數(shù)學家王鑒說，朱世杰“兼秦(九韶)、李(冶)之所長”，羅士琳也說他是“尤超越乎秦、李之上”．清代
末年還有人評論說“中法以《四元玉鑒》為詣極之書”．20世紀美國著名的科學史家G．薩頓(Sarton，1884—1956)評價朱世杰是“漢民族的，他所生存的時代的，同時也是貫穿古今的一位最杰出的數(shù)學家”，說《四元玉鑒》“是中國數(shù)學著作中最重要的一部，同時也是中世紀最杰出的數(shù)學著作之一”．如此之高的評價，朱世杰和他的著作都是當之無愧的．

朱世杰

“燕山朱松庭先生”，是我國元朝時代的一位杰出的數(shù)學家。所寫的《四元玉鑒》和《算學啟蒙》，是我國古
代數(shù)學發(fā)展進程中的一個重要的里程碑，是我國古代數(shù)學的一份寶貴的遺產(chǎn)。

朱世杰的青少年時代，正相當于蒙古軍滅金之后。但在滅金之前，中都（即今之北京）便于1215年被成吉思汗
攻占。

元世祖忽必烈繼汗位之后，于1264年（至1266年）為便于統(tǒng)治中原地區(qū)的人民，遷都燕京（后改稱大都，亦即
今之北京）到了13世紀60年代燕京不只是全國的政治中心，而且也是當時全國重要的文化中心，特別是北方的一個文化中心。

忽必烈為了元朝的統(tǒng)治，曾網(wǎng)羅了一大批漢族的知識分子充作智囊團。其中就著名的有王恂（1235—1281）、
郭守敬（1231—1279）、李冶（1192—1279）等人，這個智囊團中的人物，對數(shù)學和歷法都很精通，他們未入朝前曾隱于河北省南部武安紫金山中。

13世紀中葉，在現(xiàn)在的河北省的南部地區(qū)和山西省的南部地區(qū)，出現(xiàn)了一個以天元術為其代表的數(shù)學研究中心
。除上述武安的紫金山和李冶元氏封龍山外，山西臨汾的蔣周，河北蠡縣的李文一，河北獲鹿的石信道等人都在研究天元術。朱世杰也繼承了北方數(shù)學的主要成就——天元術，并將其由二元、三元推廣至四元方程組的解法。

朱世杰除了接受北方的數(shù)學成就之外，他也吸收了南方的數(shù)學成就，尤其是各種日用算法、商用算術和通俗化的歌訣等等。

在元滅南宋以前，南北之間的交往，特別是學術上的交往幾乎是斷絕的。南方的數(shù)學家對北方的天元術毫無所知，而北方的數(shù)學家也很少受到南方的影響。朱世杰曾“周游四方”，莫若（古代數(shù)學家）序中有“燕山松庭朱先生以數(shù)學名家周游湖海二十余年矣。四方之來學者日眾，先生遂發(fā)明《九章》之妙，以淑后圖學，為書三卷……名曰《四元玉鑒》”，祖頤后序中亦有“漢卿名世杰，松庭其自號也。周流四方，復游廣陵，踵門而學者云集”。經(jīng)過長期的游學、講學等活動，終于在1299年和1303年，在揚州，刊刻了他的兩部數(shù)學杰作——《算學啟蒙》和《四元玉鑒》。楊輝書中的歸除歌訣在朱世杰所著《算學啟蒙》中有了進一步的發(fā)展。

清羅士琳認為：“漢卿在宋元間，與秦道古（即秦九韶）、李仁卿可稱鼎足而三。道古正負開方，漢卿天元如積皆足上下千古，漢卿又兼包眾有，充類盡量，神而明之，尤超越乎秦、李之上”。清代數(shù)學家王鑒也說：“朱松庭先生兼秦、李之所長，成一家之著作”。朱世杰全面繼承了并創(chuàng)造性地發(fā)揚了天元術、正負開方法等秦、李書中所載的數(shù)學成就之外，還囊括了楊輝書中的日用、商用、歸除歌訣之類與當時社會生活密切相關的各種算法，并作了新的發(fā)展。

由此看來，在朱世杰的工作中，不僅有高次方程的解法，天元術等為代表的北方數(shù)學的成就，也包括了楊輝工作中所體現(xiàn)出來的日用，商用算法以及各種歌訣等南方數(shù)學的成就，不僅繼承了中國古代數(shù)學的光輝遺產(chǎn)，而且又作了創(chuàng)作性的發(fā)展。朱世杰的工作，在一定意義上講，可以看作是宋元數(shù)學的代表，可以看作是古代籌算系統(tǒng)發(fā)展的頂峰。就連西方資產(chǎn)階級學者們也不能否認這一點，喬治·薩頓說：朱世杰“是漢族的，他所生存的時代的，同時也是貫穿古今的一位最杰出的數(shù)學家”，說《四元玉鑒》“是中國數(shù)學著作中最重要的一部，同時也是中世紀最杰出的數(shù)學著作之一”。朱世杰以他自己的杰出著作，把中國古代數(shù)學推向更高的境界，為中國古代數(shù)學的光輝史冊，增加了新的篇章，形成了宋代中國數(shù)學發(fā)展的最高峰。

朱世杰朱世杰字漢卿，號松庭，元朝人，籍貫燕山（今北京附近）。他長期從事數(shù)學研究和教育事業(yè)，以數(shù)學名家周
游湖海二十多年，四方登門來學習的人很多。

朱世杰全面繼承了秦九韶（約公元1202－1261年，他的主要著作是《數(shù)書九章》）、李冶（公元1192－1279年，主要著作是《測圓海鏡》和《益古演段》。）、楊輝（著有《詳解九章算法》十二卷《日用算法》二卷、《乘除通變算寶》三卷、《田畝比類乘除捷法》二卷、《續(xù)古摘奇算法》二卷等）三人的數(shù)學成就和各種實用算法，而且創(chuàng)造性地予以發(fā)展，寫出《算學啟蒙》三卷、《四元玉鑒》三卷等著名著作，把我國古代數(shù)學推向更高的境界，形成宋、元時期中國數(shù)學的最高峰。

《算學啟蒙》是朱世杰在元成宗大德三年（公元1299年）刊印的，全書分三卷，二十門，總計二百五十九個問題和相應的解答。自乘除運算起，一直講到當時數(shù)學發(fā)展的最高成就“天元術”，全面介紹了當時數(shù)學所包含的各方面內(nèi)容。它的體系完整，內(nèi)容深入淺出，通俗易懂，是一部很著名的啟蒙讀物。這部著作后來流傳到了朝鮮、日本等國，出版過翻刻本和注釋本，產(chǎn)生過一定的影響?！端脑耔b》更是一部成就輝煌的數(shù)學名著。它受到近代數(shù)學史研究者的高度評價，認為是中國數(shù)學著作中最
重要的一部，同時也是中世紀最杰出的數(shù)學著作之一?！端脑耔b》成書于大德七年（公元1303年），共三卷，二十四門，二百八十八問，介紹了朱世杰在多元高次方程組的解法棗“四元術”、高階等差級數(shù)的計算棗“垛積術”以及“招差術”（有限差分）等方面的研究成果。

秦、李、楊、朱的數(shù)學著作內(nèi)容廣泛而艱深，象高次方程的數(shù)值解法、天元術、四元術、大衍求一術、垛積術和招差術等，都是具有世界意義的學術成就，分別比歐洲要早出現(xiàn)四百年到八百年，在當時世界上居于遙遙領先的地位。這一豐富多彩的輝煌時期在我國數(shù)學史上也是罕見的。

朱世杰的“四元術”是在高次方程的數(shù)值解法以及“天元術”的基礎上發(fā)展起來的。當未知數(shù)不止一個的時候，除設未知數(shù)天元（χ）外，還需要增設地元（y）、人元（z）乃至物元（u），再列寫出二元、三元甚至四元的
高次聯(lián)立方程組，然后求解。這就是朱世杰在他的著作中所介紹的“四元術”。朱世杰不僅提出了多元（最多到四元）高次聯(lián)立方程組的算籌擺置記述方法，而且把《九章算術》等書中四元一次聯(lián)立方程解法推廣到四元高次聯(lián)立方程，在歐洲，解聯(lián)立一次方程開始于十六世紀，關于多元高次聯(lián)立方程的研究還是十八、十九世紀的事。

朱世杰還把三角垛公式引用到“招差術”上，指出招差公式中的各項系數(shù)恰好依次是各三角垛的積，這樣就得到了包含有四次差的招差公式，并且可以推廣為包含任意高次差的招差公式，這在世界數(shù)學史上是第一次，比歐洲牛頓的同樣成就要早近四個世紀。除了“四元消法”和“垛積招差”以外，朱世杰在他的著作中還提出了許多值得注意的內(nèi)容：在中國數(shù)學史上，朱世杰第一次正式提出了正負數(shù)乘法的正確法則。他對球體表面積的計算問題作了探討，這是我國古代數(shù)學典籍中唯一的一次討論。雖然結論不很正確，但是他的創(chuàng)新精神是可貴的。在《算學啟蒙》中，朱世杰記載了完整的“九歸除法”口訣，和現(xiàn)在流傳的珠算歸除口訣幾乎完全一致。

總之，朱世杰繼承和發(fā)展了前人的數(shù)學成就，為推進我國古代數(shù)學的發(fā)展做出了不可磨滅的重要貢獻。由于朱世杰和其他同時代數(shù)學家的共同努力，使宋、元時期的數(shù)學水平達到光輝的高度，在很多方面居于世界前列。朱世杰不愧是我國乃至世界數(shù)學史上負有盛名的數(shù)學家。

《算學啟蒙》

中國元代數(shù)學家朱世杰撰，元大德三年（1299）刻于揚州，此刊已不存。

本書包括了從乘除法運算及其捷算法到開方、天元術、方程術等當時數(shù)學各方面的內(nèi)容，由淺入深，形成了一
個較完整的體系。正文前，列出了九九歌訣、歸除歌訣、斤兩化零歌、籌算識位制度、大小數(shù)進位法、度量衡制度、圓周諸率、正負數(shù)加減乘法法則、開方法則等18條作為總括，作為全書的預備知識，其中正負數(shù)乘法法則不僅在中國數(shù)學著作中，在世界上也是首次出現(xiàn)。許多歌訣比楊輝的更加完整準確，有的已與現(xiàn)代珠算口訣幾乎完全一致。這是中國數(shù)學著作中第一次出現(xiàn)的與現(xiàn)今一致的口訣。本書的正文分3卷，20門，259問。卷上8門，113問，包括各種乘除捷算法和歌訣的應用題，以及各種比例算法。

許多問題反映了元代的社會經(jīng)濟情況。卷中7門，71問，是面積、體積及各種算術問題。卷下5門，75問，是關于分數(shù)運算、垛積（即高階等差級數(shù)求和）、盈不足術、線性方程組解法、天元術及增乘開方法等問題。還處理了開方過程中系數(shù)變號的問題。

《算學啟蒙》是一部很好的數(shù)學教材，它把當時的初級和中級數(shù)學知識從乘除口訣開始，包括面積、體積、比
例、開方、高次方程、天元術等，有例題，有方法，分門別類，由淺入深，循序漸進，自成系統(tǒng)，確是一部很好的數(shù)學啟蒙讀物。此書曾傳至朝鮮、日本，朝鮮有李朝世宗十五年（1433）的慶州府刻本，清順治十七年（1660）金州府尹金始振翻刻。清羅士琳諸人聞此書，遂請人于北京尋獲金刻本，道光十九年(1839)由阮元作序，在揚州刊刻，后來諸版皆依此。

王孝通撰成《緝古算經(jīng)》武德九年（六二六），王孝通撰成《緝古算經(jīng)》一書。天文學家李淳風為之作注?！毒児潘憬?jīng)》是算經(jīng)十書之一。共四卷。全書提出了關于建筑堤防、勾股形及從各種棱臺的體積求其邊長的算法等二十個問題。是我國古代解數(shù)學三次方程現(xiàn)存的最古著作。

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唐王孝通撰。其結銜稱通直郎太史丞。其始末未詳。惟《舊唐書。律歷志》“戊寅歷”條下有武德九年校歷人算歷博士臣王孝通，題蓋即其人也。是書一名《緝古算術》，《唐書。藝文志》、《崇文總目》俱稱李淳風注。今案此本卷首實題孝通撰并注，則《唐志》及《總目》為誤。又《宋志》作一卷，《唐志》、鄭樵《藝文略》俱作四卷，王應麟《玉海》謂今亡其三。案《孝通原表》稱二十術，檢勘書內(nèi)條目相同，并無闕佚，不知應麟何所據(jù)而云然也。書中大旨，以《九章。商功篇》有平地役功受袤之術，其於上寬下狹窄，前高後卑，闕而不論，世人多不達其理。因于平地之余，續(xù)狹斜之法。凡推朔夜半時月之所離者一術，推仰觀臺及羨道高廣袤者一術，推筑堤授工上下廣及高袤不同者一術，推筑龍尾堤者一術，推穿河授工斜正袤上廣及深并漘上廣不同者一術，推四郡輸粟窖上下廣袤馀郡別出入及窖深廣者一術，推亭倉上下方高者一術，推芻薨圓囤者各一術，推方倉圓窖對待者五術，推勾股邊積互求者六術，共合二十術之數(shù)。中間每以人戶道里，大小遠近，及材物之輕重，工作之時日，乘除進退，參伍以得其法。頗不以深淺為次第，故讀者或不能驟通。而卒篇以後，由源竟委，端緒足尋，洵為思極毫芒，曲盡事理。唐代明算立學，習此書者以三年為限，亦知其術之精妙，非旦夕所克竟其義矣。其書世罕流播，此乃宋元豐七年秘書監(jiān)趙彥若等校定刊行舊本，常熟毛扆得之章邱李氏，而影抄傳之者。今詳加勘正，其文間有脫闕，不敢妄補。謹撮取其義，別加圖說，附諸本文之左，以便觀覽云。

　一、【《孫子算經(jīng)》簡介】

　　《孫子算經(jīng)》算經(jīng)十書之一，是公元四世紀左右的數(shù)學著作，編撰年代不詳。作者孫子，公元四世紀時人，生平不詳?，F(xiàn)傳本分上、中、下三卷。上卷敘述度量衡制度、籌算記數(shù)和籌算乘除算法；中卷舉例說明籌算分數(shù)算法、開平方和面積、體積計算；下卷是各種應用問題。中、下兩卷共有各類算題64題。

　　《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題及解法，屬于一次同余式組，數(shù)論中稱為“中國剩余定理”，也稱“孫子定理”，秦九韶在此基礎上，進一步研究，提出了“大衍求一術”。經(jīng)我國歷代數(shù)學家研究發(fā)展成完整嚴謹?shù)睦碚撆c方法。 　　《孫子算經(jīng)》是古代較為普及的算書。其中算題寫得淺近有趣。例如“雞兔同籠”（雉兔同籠）題遠傳日本（日本稱為“鶴龜算”）。

　　“雉兔同籠”題為：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問雉兔各幾何？”
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　　《孫子算經(jīng)》三卷，案《隋書。經(jīng)籍志》有《孫子算經(jīng)》二卷，不著其名，亦不著其時代?！短茣Ｋ囄闹尽贩Q李淳風注甄鸞《孫子算經(jīng)》三卷。於孫子上冠以甄鸞，蓋如淳風之注《周髀算經(jīng)》，因鸞所注更加辨論也?！端鍟氛搶彾纫秾O子算術》，蠶所生吐絲為忽，十忽為秒，十秒為毫，十毫為厘，十厘為分，本書乃作十忽為一絲，十絲為一毫。又論嘉量引《孫子算術》，六粟為圭，十圭為秒，十秒為撮，十撮為勺，十勺為合。本書乃作十圭為一撮，十撮為一秒，十秒為一勺。考之夏侯陽《算經(jīng)》引田曹、倉曹亦如本書，而《隋書》中所引與史傳往往多合。蓋古書傳本不一，校訂之儒各有據(jù)證，無妨參差互見也。唐之選舉，算學孫子、五曹共限一歲習肄，於後來諸算術中特為近古，第不知孫子何許人。朱彝尊《曝書亭集。五曹算經(jīng)跋》云，相傳其法出於孫武，然孫子別有《算經(jīng)》，考古者存其說可爾。又有《孫子算經(jīng)》跋云，首言度量所起，合乎兵法地生度，度生量，量生數(shù)之文。次言乘除之法設為之數(shù)，十三篇中所云廓地、分利、委積、遠輸、貴賤、兵役、分數(shù)比之《九章》方田、粟米、差分、商功、均輸、盈不足之目，往往相符，而要在得算多，多自然勝。以是知此編非偽托也云云。合二跋觀之，彝尊之意蓋以為確出於孫武。今考書內(nèi)設問有云，長安洛陽相去九百里。又云，佛書二十九章，章六十三字，則後漢明帝以後人語。孫武春秋末人，安有是語乎？舊本久佚。今從《永樂大典》所載裒集編次，仍為三卷。其甄、李二家之注則不可復考，是則姚廣孝等割裂刊削之過矣。

　　《周髀算經(jīng)》是中國流傳至今的最早的一部數(shù)學著作，同時也是一部天文學著作。

　　中國古代按所提出的宇宙模式的不同，在天文學上曾有三種學說?！吧w天說”是其中之一，而《周髀算經(jīng)》是“蓋天說”的代表。這派學說主張：天象蓋笠，地法覆盆（天空如斗笠，大地像翻扣的盆）。

　　據(jù)考證，現(xiàn)傳本《周髀算經(jīng)》大約成書于西漢時期（公元前一世紀）。南宋時的傳刻本（1213）是目前傳世的最早刻本。歷代許多數(shù)學家都曾為此書作注，其中最著名的是唐李淳風等人所作的注?！吨荀滤憬?jīng)》還曾傳入朝鮮和日本，在那里也有不少翻刻注釋本行世。

　　從所包含的數(shù)學內(nèi)容來看，書中主要講述了學習數(shù)學的方法、用勾股定理來計算高深遠近和比較復雜的分數(shù)計算等。

　　《九章算術》是中國古代數(shù)學專著，承先秦數(shù)學發(fā)展的源流，進入漢朝后又經(jīng)許多學者的刪補才最后成書，這大約是公元一世紀的下半葉。它的出現(xiàn)，標志著中國古代數(shù)學體系的形成。

　　后世的數(shù)學家，大都是從《九章算術》開始學習和研究數(shù)學知識的。唐宋兩代都由國家明令規(guī)定為教科書。1084年由當時的北宋朝廷進行刊刻，這是世界上最早的印刷本數(shù)學書。

　　《九章算術》共收有246個數(shù)學問題，分為九章。分別是：方田、栗米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股。　　《九章算術》是世界上最早系統(tǒng)敘述了分數(shù)運算的著作；其中盈不足的算法更是一項令人驚奇的創(chuàng)造；“方程”章還在世界數(shù)學史上首次闡述了負數(shù)及其加減運算法則。

　　《九章算術》的出現(xiàn)，標志著我國古代數(shù)學體系的正式確立，當中有以下的一些特點：1.是一個應用數(shù)學體系，全書表述為應用問題集的形式；2.以算法為主要內(nèi)容，全書以問、答、術構成，“術”是主要需闡述的內(nèi)容；3.以算籌為工具。

　　《九章算術》取得了多方面的數(shù)學成就，包括：分數(shù)運算、比例問題、雙設法、一些面積、體積計算、一次方程組解法、負數(shù)概念的引入及負數(shù)加減法則、開平方、開立方、一般二次方程解法等?！毒耪滤阈g》的思想方法對我國古代數(shù)學產(chǎn)生了巨大的影響。自隋唐之際，《九章算術》已傳入朝鮮、日本，現(xiàn)在更被譯成多種文字。作者：(漢)張蒼、耿壽昌、(魏)劉徽注